Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC= ，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、E.

（1）求AE；
（2）過D作DF⊥AC于F，請畫出圖形，說明DF是否是⊙O的切線，并寫出理由；
（3）延長FD，交AB的延長線于G，請畫出圖形，并求BG.

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：連結AD、DE

易證BD=CD= ,

△DCE∽△ABC（或△DCA∽△ECB）

∴CE:CB=CB:CA

∴CE=4，AE=6

方法二：BE⊥AC

∴

∴

∴AE=6

方法三： 易證A D=

∵BC×AD=AC×BE,

∴BE=8

∴AE=6

（2）

解：DF是⊙O的切線，理由如下：

方法一：BD=CD,OB=OA,

∴OD∥AC

∴DF⊥AC

∴DF是⊙O的切線

方法二：∠ODB=∠B=∠C,

∴OD∥AC

∴DF⊥AC

∴DF是⊙O的切線

（3）

解：方法一： DE=BD=

∠GBD=∠DEA，∠ GDB=∠FDC=∠DAE

∴ △GBD∽△DEA

∴GB:DE=BD:AE BG=

方法二：BE∥GF,

∴ △ABE∽△AGF

∴AB:BG=AE:EF

BG=

【解析】此題考查圓的切線的判定及性質、相似三角形的判定及性質，準確作出輔助線，分析題中圖形之間的關系，此題方法較多，理解、分析透徹圖形之間、線段之間的關系是解題關鍵.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．