Question

【題目】已知，如圖，AB 是⊙O 的直徑，CD 是弦，CD⊥AB 于點 E，點 G 在直徑 DF 的延 長線上，∠D=∠G=30°．

（1）求證：CG 是⊙O 的切線；

（2）若 CD=6，求 GF 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）連接OC，利用半徑相等及三角形內角和定理計算出∠GCO =90°即可．
（2）利用30度角所對直角邊等于斜邊一半，設，則，利用勾股定理構建方程求出半徑，在直角三角形OCG中利用先是關系即可求得答案．

（1）證明：連接OC，如圖：

∵OC=OD，∠D=30°，

∴∠OCD=∠D=30°．

∵∠G=30°，

∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．

∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．

∴OC⊥CG．

又∵OC是⊙O的半徑．

∴CG是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，

∴CE=CD=3．

∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，

∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．

設EO=x，則CO=2x．∴（2x）2=x2+32．

解之得x=（舍負值）．

∴CO=2．

∴FO=2．

在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，

∴GO=2CO=4．

∴GF=GO﹣FO=2