Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，反比例函數y= 在第一象限的圖象分別交矩形OABC的邊AB、BC邊點于E、F，已知BE=2AE，四邊形的OEBF的面積等于12．

（1）求k的值；

（2）若射線OE對應的函數關系式是y=，求線段EF的長；

（3）在（2）的條件下，連結AC，試證明：EF∥AC．

Answer 1

【答案】（1）k的值為6；（2）EF；（3）詳見解析．

【解析】

（1）由△OAE面積與k的關系可求得k值；

（2）由于點E為兩函數的交點，聯立方程可求得點E的坐標，進而求出點B、F的坐標，由勾股定理即可求出EF的長；

（3）易證△BEF∽△BAC，從而得到∠BEF=∠BAC，進而得到兩直線平行．

（1）連接OB，如圖1所示，

∵S△OAB=S△OCB，S△OCF=S△OAE=，

∴S△OFB=S△OBE，

∵S△OFB+S△OBE=12，

∴S△OBE=6，

∵BE=2AE，

∴S△OBE=2S△OAE=6，

∴S△OAE==3，

∴k=6，

∴k的值為6；

（2）解方程，得x=±6，

∵點E在第一象限，

∴x=6，

把x=6代入，

得y=1，即點E（6，1）．

∵BE=2AE，

∴點B（6，3），

把y=3代入，得x=2．

∴點F（2，3），

∴BF=6﹣2=4，BE=3﹣1=2，

在直角△BEF中，根據勾股定理得：；

（3）連接AC，如圖2所示，

∵BF=4，BE=2，BC=6，BA=3，

∴，，

∴，

∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△BAC，

∴∠BEF=∠BAC．

∴EF∥AC．