Question

【題目】如果一個三位正整數A與另一個三位正整數B相加得到三位數C，C的三個數位上的數字都相同，我們就稱三位正整數A和三位正整數B互為“影子數”如：191+253＝444，191+475＝666…，所以191和253互為“影子數”，同時191和475也互為“影子數”，475和253都是191的“影子數”．

（1）若一個三位正整數M是67的倍數，它比它的一個“影子數”小107，求這個三位數M；

（2）若將一個三位正整數的十位和百位交換位置后組成的三位數是，且是的“影子數”，若﹣＝540，求證：b＝c+3．

Answer 1

【答案】（1）335；（2）見解析

【解析】

（1）因為這個數與它的影子數之和最大為999，而影子數比它大107，所以可以判斷出來這個數不能超過446，所以67的倍數關系應該不超過402，將大于100而小于402的67的倍數逐一進行判斷即可．

（2）根據“影子數”的定義求出a、b、c之間的關系式代入題中給定的等式求出．

解；（1）∵這個數與它的影子數之和最大為999，而影子數比它大107，

∴可以判斷出來這個數不能超過 ，

又∵M是67的倍數，M為三位數

∴M是大于100且不超過402的67的倍數

故M= 134或201或268或335或402

∴當M=134時，M+107=134+107=241，故2M+107=375，不符合題意，

當M=201時，M+107=201+107=308，故2M+107=509，不符合題意，

當M=268時，M+107=268+107=375，故2M+107=643不符合題意，

當M=335時，M+107=335+107=442，故2M+107=777，符合題意，

當M=402時，M+107=402+107=509，故2M+107=911，不符合題意，

∴M為335．

（2）證明：∵和互為影子數，所以a＝2c﹣b，

∵﹣＝540，

∴100b+10（2c﹣b）+c＝540+100（2c﹣b）+10b+c，

∴180b﹣180c＝180（b-c）=540，

∴b﹣c＝3，

∴b＝c+3．