Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點（A點在B點左側），A（﹣1，0），B（3，0），直線l與拋物線交于A，C兩點，其中C點的橫坐標為2．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；

（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A，C，F，G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）；（3）F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（，0），F4（，0）．

【解析】

（1）利用待定系數法，直接求出拋物線的解析式即可；

（2）根據點C在拋物線上，求出點C的坐標；根據待定系數法求出直線AC的解析式；設點P的橫坐標為x（1≤x≤2），則P、E的坐標分別為P（x，x1），E（x，x22x3），用含x的式子表示出PE的長度，求出PE的最大值；

（3）根據點G的不同位置，分為4種情況討論，點G在第二象限的拋物線上，點G在拋物線與y軸的交點上（兩種情況），點G在直線AC上方y軸右側，根據平行四邊形的對邊平行且相等，求得點F的坐標即可．

（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），

∴，解得：，∴拋物線的函數解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵點C在拋物線上，且點C的橫坐標為2，

∴y=4﹣4﹣3=﹣3，

∴點C的坐標為（2，﹣3），

設直線AC的解析式為：y=kx+b，

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣1，設點P的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），

則P、E的坐標分別為P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．

∵點P在點E的上方，

∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=．

∵﹣1＜0，開口向下，﹣1≤x≤2，

∴當x=時，PE最大=；

（3）存在4個這樣的點F，分別是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．

∵A，C，F，G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形

①如圖1，四邊形AFGC是平行四邊形，此時CG∥AF，

∴AF=CG=2，

∴點F的坐標為（﹣3，0）；

②如圖2，四邊形AGCF是平行四邊形，此時CG∥FA，

∴AF=CG=2．

∵點A的坐標為（﹣1，0），

∴點F的坐標為（1，0）；

③如圖3，四邊形ACFG時平行四邊形，此時AC∥GF，

此時點C，G兩點的縱坐標互為相反數，

故點G的縱坐標為3，且點G在拋物線上，

∴x2﹣2x﹣3=3，

解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），

∴點G的坐標為（1+，3）．

∵GF∥AC，

∴設直線GF的解析式為：y=﹣x+h，

∴﹣（1+）+h=3，

解得：h=4+，

∴直線GH的解析式為：y=﹣x+4+，

∴直線GF與x軸的交點F的坐標為（4+，0）；

④如圖4，同③可求得點F的坐標為（4﹣，0）．

綜上所述：存在4個這樣的點F，分別是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．