Question

【題目】如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于、兩點，點的橫坐標為，點的橫坐標為，.

（1）點的縱坐標為___________;

（2）作軸，軸，垂足分別為、，與相交于點，連結.

①求證：；

②若四邊形是正方形且面積為，把直線向右平移個單位，平移后的直線與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）16

【解析】

(1)由點A的橫坐標,利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出點A的縱坐標

(2)①由反比例函數圖象上點的坐標特征可得出點A,B的坐標,進而可得出MC,NC,BC,AC的長度,由長度之間的關系可得出,結合∠ACB=∠MCN=90°可證出△ACB∽△MCN,利用相似三角形的性質可得出∠ABC=∠MNC,再利用“內錯角相等,兩直線平行”可證出AB∥MN

②由正方形的性質結合反比例函數圖象上點的坐標特征,可得出點A,C的坐標及k值,由點C的坐標可得出直線OC的解析式,利用平移的性質可求出直線PQ的解析式及點Q的坐標,聯立直線PQ和反比例函數解析式成方程組,通過解方程組可求出點P的坐標,再利用兩點間的距離公式可求出的值

解：（1）當時，，

∴點A的縱坐標為，

故答案為：

（2）①證明：當時，，

∴點B的坐標為

∵AM⊥x軸，BN⊥y軸

∴點C的坐標為，

∴NC=m，BC=n-m，MC=，AC=，

∴，；

∴

又∵∠ACB=∠MCN=90°

∴△ACB∽△MCN

∴∠ABC=∠MNC

∴AB∥MN

②∵四邊形ABMN是正方形,

∴CM=CN， BN=2CN， AM=2CM

∴n=2m，△CMN為等腰直角三角形

∵

∴

∴CM=CN=2

∴m=2，n=4

∴點A的坐標為(2,4)，點C的坐標為(2,2)

∴k=2×4=8，直線OC的解析式為y=x.

∵把直線OC向右平移c個單位得到直線PQ

∴直線PQ的解析式為y=x-c,點Q的坐標為(c,0)

聯立直線PQ和反比例函數解析式成方程組得：，

解得：， （舍去）

∴點P的坐標為

∴

故答案為：16