Question

【題目】如圖，已知，為線段上的一個動點，分別以，為邊在的同側作菱形和菱形．點，，在一條直線上，，、分別是對角線、的中點．當點在線段上移動時，點、之間的距離最短為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接PM、PN，根據菱形的性質求出∠CAP=30°，∠MPC=∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°，從而求出∠MPN=90°，設AP=x，則PB=2a－x，然后利用銳角三角函數求出PM和PN，然后利用勾股定理求出MN2與x的函數關系式，化為頂點式即可求出MN2的最小值，從而求出結論．

解：連接PM、PN

∵四邊形和四邊形為菱形，

∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM⊥AC，PN⊥EB，AC平分∠DAP，PM平分∠APC，PN平分∠EPB

∴∠CAP=30°，∠MPC=∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°

∴∠MPN=∠MPC＋∠EPN=90°

設AP=x，則PB=2a－x

∴PM=AP·sin∠CAP=，PN=PB·cos∠BPN=（2a－x）

在Rt△MON中

MN2= PM2＋PN2=＋（2a－x）2=（x－a）2＋a2

當x=a時，MN2取最小值，最小為a2

∴MN的最小值為

故答案為：．