Question

【題目】如圖所示的是小慶為慶祝中華人民共和國成立70周年設計的“70”字形，AB與大⊙O相切于點A， AO與小⊙O相交于點E，D是大⊙O上一點，CD//AB，CD過點E且交大⊙O于另一點F，OE=2．

（1）求證：CD為小⊙O的切線．

（2）當AD=AO時，求DF的長．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先由AB是大⊙O的切線得出∠OAB=90°，再利用ABCD得出∠OEC=90°，則結論可證；

（2）連接DO，先證明OAD為等邊三角形，得出∠AOD=60°，然后利用特殊角的三角函數值求出DE的長度，最后利用垂徑定理即可求出答案．

解：(1)證明：∵AB是大⊙O的切線，

∴∠OAB=90°．

∵ABCD，

∴∠OEC=90°，

即OE⊥CD．

又∵點E在小⊙O上，

∴CD是小⊙O的切線；

(2)解：如圖，連接DO．

∵AD=AO，且DO=AO，

∴OAD為等邊三角形，

∴∠AOD=60°．

∵OE=2，

∴DE=OE·tan∠AOD=，

∵OE⊥CD，OE為半徑，

∴ ，

∴DF=2DE=．