Question

【題目】如圖，在四邊形中，，對角線與相交于點，分別是邊、的中點.

（1）求證：；

（2）當時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.5

【解析】

（1）連接BM、DM，根據直角三角形斜邊上 的中線的性質求出BM=DM，根據等腰三角形性質求出即可；

（2）根據等腰三角形性質和三角形外角性質求出∠BMN=30°，求出∠NBM=30°，求BM，根據直角三角形的性質求出即可．

證明：（1）連接BM、DM．

∵∠ABC=∠ADC=90°，點M、點N分別是邊AC、BD的中點，

∴BM=AC，CM=AC，

∴BM＝DM＝AC，

∵N是BD的中點，

∴MN是BD的垂直平分線，

∴MN⊥BD

（2）解：∵∠BCA=15°，BM＝CM＝AC，

∴∠BCA=∠CBM=15°，

∴∠BMA=30°，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠BMA=30°，

∵AC=10，BM＝AC，

∴BM=5，

在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，

∴MN＝BM＝2.5，

答：MN的長是2.5．