Question

【題目】如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，于點，連分別交，于點，，過點作交于點，則下列結論：

①；②；③；④；⑤.．其中正確結論的個數為（　�。�

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】B

【解析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且頂角∠CAD=150°，據此可判斷；②求出∠AFP和∠FAG度數，從而得出∠AGF度數，據此可判斷；③證△ADF≌△BAH即可判斷；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得證；⑤設PF=x，則AF=2x、AP=x，設EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根據△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，據此得出EH=a，證△PAF∽△EAH得，從而得出a與x的關系即可判斷．

∵△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，

∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，

∴△CAD是等腰三角形，且頂角∠CAD=150°，

∴∠ADC=15°，故①正確；

∵AE⊥BD，即∠AED=90°，

∴∠DAE=45°，

∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，

∴∠AGF=75°，

由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②錯誤；

記AH與CD的交點為P，

由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，

則∠BAH=∠ADC=15°，

在△ADF和△BAH中，

∵，

∴△ADF≌△BAH（ASA），

∴DF=AH，故③正確；

∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，

∴△AFG∽△CBG，故④正確；

在Rt△APF中，設PF=x，則AF=2x、AP=x，

設EF=a，

∵△ADF≌△BAH，

∴BH=AF=2x，

△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，

∴BE=AE=AF+EF=a+2x，

∴EH=BE-BH=a+2x-2x=a，

∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，

∴△PAF∽△EAH，

∴，即，

整理，得：2x2=（-1）ax，

由x≠0得2x=（-1）a，即AF=（-1）EF，故⑤正確；

故選：B．