Question

【題目】已知二次函數y=9x2﹣6ax+a2﹣b

（1）當b=﹣3時，二次函數的圖象經過點（﹣1，4）

①求a的值；

②求當a≤x≤b時，一次函數y=ax+b的最大值及最小值；

（2）若a≥3，b﹣1=2a，函數y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c時的值恒大于或等于0，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①a的值是﹣2或﹣4；②當x=﹣4時，函數取得最大值，y=13，當x=﹣3時，函數取得最小值，y=9；（2）﹣＜c≤．

【解析】

（1）①把b=﹣3和點（﹣1，4）代入y=9x2﹣6ax+a2﹣b即可求出a的值；②根據a≤x≤b，b=﹣3求出a的值，然后根據一次函數的性質求解即可；

（2）先求出拋物線與x軸的交點，然后根據﹣＜x＜c時的值恒大于或等于0列式求解即可.

（1）①∵y=9x2﹣6ax+a2﹣b，當b=﹣3時，

二次函數的圖象經過點（﹣1，4）

∴4=9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，

解得，a1=﹣2，a2=﹣4，

∴a的值是﹣2或﹣4；

②∵a≤x≤b，b=﹣3

∴a=﹣2舍去，

∴a=﹣4，

∴﹣4≤x≤﹣3，

∴一次函數y=﹣4x﹣3，

∵一次函數y=﹣4x﹣3中，y隨x的增大而減小，

∴當x=﹣4時，函數取得最大值，y=﹣4×（﹣4）﹣3=13

x=﹣3時，函數取得最小值，y=﹣4×（﹣3）﹣3=9

（2）∵b﹣1=2a

∴y=9x2﹣6ax+a2﹣b可化簡為y=9x2﹣6ax+a2﹣2a﹣1

∴拋物線的對稱軸為：x=≥1，

拋物線與x軸的交點為（，0）（，0）

∵函數y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c時的值恒大于或等于0

∴c≤，

∵a≥3，

∴﹣＜c≤．