Question

是等邊三角形，D是射線BC上的一個動點（與點B、C不重合），是以AD為邊的等邊三角形，過點E作，交射線AC于點F，連結BE.
（1）如圖，當點D在線段BC上運動時。①求證：；②探究四邊形BCFE是怎樣的四邊形？并說明理由；

（2）如圖，當點D在線段BC的延長線上運動時，請直接寫出（1）的兩個結論是否依然成立；
（3）在（2）的情況下，當點D運動到什么位置時，四邊形BCFE是菱形？并說明理由。

Answer 1

（1）①根據等邊三角形的性質可得，，，即得，從而可以證得結論；②四邊形BCFE是平行四邊形；（2）成立；（3）

試題分析：（1）①根據等邊三角形的性質可得，，，即得，從而可以證得結論；②由①得，即得，又，即得，則可得，再結合即可得到結果；
（2）證法同（1）
（3）由可得，又可得，再結合四邊形BCFE是平行四邊形即可得到結果.
解：（1）①∵和都是等邊三角形
∴，，
∴
∴；
②四邊形BCFE是平行四邊形
理由：由①得
∴
又∵，
∴
∴ （6分）
又∵
∴四邊形BCFE是平行四邊形；
（2）①；②四邊形BCFE是平行四邊形均成立；
（3）當點D運動到時，四邊形BCFE是菱形
理由：∵
∴
又∵
∴
∵四邊形BCFE是平行四邊形
∴四邊形BCFE是菱形.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.