Question

【題目】如圖①，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去四個全等的等腰直角三角形（陰影部分所示），其中E，F在AB上；再沿虛線折起，點A，B，C，D恰好重合于點O處（如圖②所示），形成有一個底面為正方形GHMN的包裝盒，設AE=x （cm）．

（1）求線段GF的長；（用含x的代數式表示）

（2）當x為何值時，矩形GHPF的面積S （cm2）最大？最大面積為多少？

（3）試問：此種包裝盒能否放下一個底面半徑為15cm，高為10cm的圓柱形工藝品，且使得圓柱形工藝品的一個底面恰好落在圖②中的正方形GHMN內？若能，請求出滿足條件的x的值或范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30﹣x；（2）當x=15時，S最大=450；（3）15≤x≤30﹣5．

【解析】

試題分析：（1）AE=BF=x，據此即可利用x表示出等腰直角△EFG的斜邊EF的長，然后利用三角函數求得GF的長；

（2）首先利用矩形的面積公式表示出面積S，然后利用二次函數的性質即可求解；

（3）首先求得與正方形各邊相切的線段的長度，然后判斷高小于或等于10cm即可判斷，然后根據NG的長不小于30cm，高不小于10cm即可列不等式求得x的范圍．

解：（1）∵AE=BF=x，

∴EF=AB﹣AE﹣BF=60﹣2x．

∴在Rt△GEF中，GF=EF=×（60﹣2x）=30﹣x；

（2）∵NG=AE=x，即GH=NG=x，

∴S=x （30﹣x）=﹣2x2+60x

=﹣2（x﹣15）2+450；

∵﹣2＜0，

∴當x=15時，S最大=450；

（3）能放下．

理由是：當圓柱形工藝品與GHMN相切時，x=15，

此時，30﹣x=30﹣15×=30﹣30＞10，故一定能放下．

根據題意得：

解得：15≤x≤30﹣5．