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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標分別為（3，0），（0，1）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想△EDB的形狀并加以證明.

【答案】（1）y=—x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形，見解析.

【解析】

（1）由條件可求得拋物線的頂點坐標及A點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）由B、D、E的坐標可分別求得DE、BD和BE的長，再利用勾股定理的逆定理可進行判斷；

（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴A（4，0），C（0，3），

∵拋物線經過O、A兩點，頂點在BC邊上，

∴拋物線頂點坐標為（2，3），

∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3，

把A點坐標代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=－，

∴拋物線解析式為y=—（x﹣2）2+3，即y=—x2+3x；

（2）△EDB為等腰直角三角形．

證明：

由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），

∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，

∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，

∴△EDB為等腰直角三角形.

練習冊系列答案
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【題目】已知，如圖，線段AD=10cm，點B，C都是線段AD上的點，且AC=7cm，BD=4cm，若E，F分別是線段AB，CD的中點，求BC與EF的長度．

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【題目】如圖，已知△ABC．

（1）若AB=4，AC=5，則BC邊的取值范圍是　　；

（2）點D為BC延長線上一點，過點D作DE∥AC，交BA的延長線于點E，若∠E=55°，∠ACD=125°，求∠B的度數．

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【題目】某游泳池長25米，小林和小明兩個人分別在游泳池的A，B兩邊，同時朝著另一邊游泳，他們游泳的時間為（秒），其中0≤t≤180，到A邊距離為y（米），圖中的實線和虛線分別表示小林和小明在游泳過程中y與t的對應關系．下面有四個推斷：

①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度；

②小明游泳的距離大于小林游泳的距離；

③小明游75米時小林游了90米游泳；

④小明與小林共相遇5次；

其中正確的是（　　）

A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數的圖象經過， 兩點.

（1）求對應的函數表達式；

（2）將先向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到拋物線，將對應的函數表達式記為，求對應的函數表達式；

（3）設，在（2）的條件下，如果在≤x≤a內存在某一個x的值，使得≤成立，根據函數圖象直接寫出a的取值范圍.

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【題目】從北京市環保局證實，為滿足2022年冬奧會對環境質量的要求，北京延慶正在對其周邊的環境污染進行綜合治理，率先在部分村鎮進行“煤改電”改造．在治理的過程中，環保部門隨機選取了永寧鎮和千家店鎮進行空氣質量監測．過程如下，請補充完整．

收集數據：

從2016年12月初開始，連續一年對兩鎮的空氣質量進行監測（將30天的空氣污染指數（簡稱：API）的平均值作為每個月的空氣污染指數，12個月的空氣污染指數如下：

千家店鎮：120 115 100 100 95 85 80 70 50 50 50 45

永寧 鎮：110 90 105 80 90 85 90 60 90 45 70 60

整理、描述數據：

空氣質量

按如表整理、描述這兩鎮空氣污染指數的數據：

空氣質量為優

空氣質量為良

空氣質量為輕微污染

千家店鎮

4

6

2

永寧 鎮

　 　

　 　

　 　

（說明：空氣污染指數≤50時，空氣質量為優；50＜空氣污染指數≤100時，空氣質量為良；100＜空氣污染指數≤150時，空氣質量為輕微污染．）

分析數據：

兩鎮的空氣污染指數的平均數、中位數、眾數如下表所示；

城鎮

平均數

中位數

眾數

千家店

80

　 　

50

永 寧

81.3

87.5

　 　

請將以上兩個表格補充完整；

得出結論：可以推斷出　 　鎮這一年中環境狀況比較好，理由為　 　．（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】有兩根木條,一根AB長為100cm,另一根CD長為150cm,在它們的中點處各有一個小圓孔MN(圓孔直徑忽略不計,MN抽象成兩個點),將它們的一端重合,放置在同一條直線上,此時兩根木條的小圓孔之間的距離MN是____________cm.

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【題目】平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1）與B（x2，y2），如果滿足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，則稱點A與點B互為反等點．已知：點C（3，4）

（1）下列各點中，　 　與點C互為反等點；

D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）

（2）已知點G（﹣5，4），連接線段CG，若在線段CG上存在兩點P，Q互為反等點，求點P的橫坐標xP的取值范圍；

（3）已知⊙O的半徑為r，若⊙O與（2）中線段CG的兩個交點互為反等點，求r的取值范圍．

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【題目】古埃及人曾經用如圖所示的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角，這樣做的道理是（　�。�

A. 直角三角形兩個銳角互補

B. 三角形內角和等于180°

C. 如果三角形兩條邊長的平方和等于第三邊長的平方

D. 如果三角形兩條邊長的平方和等于第三邊長的平方，那么這個三角形是直角三角形

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