【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,BC=12cm,AD=8cm.點P從點B出發,在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動,與此同時,垂直于AD的直線m從底邊BC出發,以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,分別交AB,AC,AD于E,F,H,當點P到達點C時,點P與直線m同時停止運動,設運動時間為t秒(t>0).
(1)連接DE、DF,當t為何值時,四邊形AEDF為菱形?
(2)連接PE、PF,在整個運動過程中,△PEF的面積是否存在最大值?若存在,試求當△PEF的面積最大時,線段BP的長.
(3)是否存在某一時刻t,使點F在線段EP的中垂線上?若存在,請求出此時刻t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)當t=2s時,四邊形AEDF為菱形;(2)BP=6cm;(3)存在某一時刻t,使點F在線段EP的中垂線上,t=.
【解析】
試題分析:(1)根據四邊形AEDF為菱形,則EF垂直平分AD,此時,DH= AD=4cm,再根據直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,即可求得t=
=2(s);(2)先根據EF∥BC,得到△AEF∽△ABC,進而得出
,據此求得EF=12﹣3t,再根據S△PEF=
EFDH=
(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0<t≤4),求得當t=2秒時,S△PEF存在最大值,最大值為12cm2,最后計算線段BP的長;(3)若點F在線段EP的中垂線上,則FE=FP,過點F作FG⊥BC于G,則FG=HD=2t,FG∥AD,根據△FCG∽△ACD,得到
,進而得到CG=
t,PG=12﹣3t﹣
t,最后在Rt△PFG中,根據勾股定理列出方程(12﹣3t﹣
t)2+(2t)2=(12﹣3t)2,即可求得t的值.
試題解析:(1)如圖1,若四邊形AEDF為菱形,則EF垂直平分AD,
此時,DH=AD=4cm,
又∵直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,
∴t==2(s),
此時,EF垂直平分AD,
∴AE=DE,AF=DF.
∵AB=AC,AD⊥BC于點D,
∴AD⊥BC,∠B=∠C.
∴EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=AF=DE=DF,
即四邊形AEDF為菱形,
故當t=2s時,四邊形AEDF為菱形;
(2)如圖2,∵直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,AD=8cm,
∴DH=2t,AH=8﹣2t,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴,即
.
解得EF=12﹣3t,
∴S△PEF=EFDH=
(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0<t≤4),
∴當t=2秒時,S△PEF存在最大值,最大值為12cm2,
此時BP=3t=6cm;
(3)存在某一時刻t,使點F在線段EP的中垂線上.
∵AB=AC,AD⊥BC,BC=12cm,AD=8cm,
∴AB=AC=10cm,
若點F在線段EP的中垂線上,則FE=FP,
由(2)可得,EF=12﹣3t=PF,
如圖3,過點F作FG⊥BC于G,則FG=HD=2t,FG∥AD,
∴△FCG∽△ACD,
∴,即
,
∴CG=t,
又∵BP=3t,BC=12cm,
∴PG=12﹣3t﹣t,
∴Rt△PFG中,(12﹣3t﹣t)2+(2t)2=(12﹣3t)2,
解得t1=或t2=0(舍去),
∴當t=時,點F在線段EP的中垂線上.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AC是矩形ABCD的對角線,過AC的中點O的直線EF,交BC于點F,交BC于點F,交AD于點E,連接AF,CE.
(1)求證:△AOE≌△COF;
(2)若EF⊥AC,試判斷四邊形AFCE是什么特殊四邊形?請證明你的結論.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,已知AD是角平分線,∠B=66°,∠C=54°.
(1)求∠ADB的度數;
(2)若DE⊥AC于點E,求∠ADE的度數.
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