Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）設△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得

S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

（3）是否存在某一時刻t，使得△CPQ為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4．8；（2）t=或t=3；（3）t=2．4秒或秒或秒．

【解析】

試題分析：（1）根據勾股定理得出AB的長度，利用等面積法求出線段CD的長度；（2）過點P⊥PH⊥AC，根據題意得出DP=t，CQ=t，則CP=4．8－t，根據△CHP∽△BCA得出PH的長度，然后求出△CPQ與t的函數關系式，然后根據三角形的面積之比得出答案；（3）本題分CQ=CP、PQ=PC以及QC=QP三種情況得出答案．

試題解析：（1）如圖1， ∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10． ∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD===4．8．

∴線段CD的長為4．8．

（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．

由題可知DP=t，CQ=t． 則CP=4．8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．

∵PH⊥AC，

∴∠CHP=90°．

∴∠CHP=∠ACB．

∴△CHP∽△BCA．

∴． ∴．

∴PH=﹣t．

∴S△CPQ=CQPH=t（﹣t）=﹣t2+t．

存在某一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．

∵S△ABC=×6×8=24，

且S△CPQ：S△ABC=9：100，

∴（﹣t2+t）：24=9：100．

整理得：5t2﹣24t+27=0．

即（5t﹣9）（t﹣3）=0．

解得：t=或t=3．

∵0≤t≤4．8，

∴當t=秒或t=3秒時，S△CPQ：S△ABC=9：100．

（3）存在

①若CQ=CP，如圖1，則t=4．8﹣t．

解得：t=2．4

②若PQ=PC，如圖2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴．

∴．

解得；t=．

③若QC=QP，過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示

同理可得：t=．

綜上所述：當t為2．4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．