Question

【題目】如圖所示，在中，，，點從點出發，沿著以每秒的速度向點運動；同時點從點出發，沿以每秒的速度向點運動，設運動時間為．

（1）當為何值時，；

（2）當，求的值；

（3）能否與相似？若能，求出的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）當PQ∥BC時，根據平行線分線段成比例定理，可得出關于AP，PQ，AB，AC的比例關系式，我們可根據P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據得出的關系式求出x的值．

（2）我們先看當=時能得出什么條件，由于這兩個三角形在AC邊上的高相等，那么他們的底邊的比就應該是面積比，由此可得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此時時間x正好是（1）的結果，那么此時PQ∥BC，由此可根據平行這個特殊條件，得出三角形APQ和ABC的面積比，然后再根據三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積-三角形APQ的面積-三角形BQC的面積來得出三角形BPQ和三角形ABC的面積比．

（3）本題要分兩種情況進行討論．已知了∠A和∠C對應相等，那么就要分成AP和CQ對應成比例以及AP和BC對應成比例兩種情況來求x的值．

解：（1）由題意得，平行于，則，，，

∴，

∴.

（2）∵，

∴，，

∴時間用了秒，，

∵由（1）知，此時平行于，

∴，相似比為，

∴.

∴四邊形與三角形面積比為，即，

又∵，即，

∴，

∴.

（3）假設兩三角形可以相似.

情況1：當時，，即有解得，

經檢驗，是原分式方程的解．

此時，

情況2：當時，，即有解得，

經檢驗，是原分式方程的解．

此時．

綜上所述，或．