Question

（2013•東營）已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點A（2，0），與y軸的交點為B（0，-1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在對稱軸右側的拋物線上找出一點C，使以BC為直徑的圓經過拋物線的頂點A．并求出點C的坐標以及此時圓的圓心P點的坐標．
（3）在（2）的基礎上，設直線x=t（0＜t＜10）與拋物線交于點N，當t為何值時，△BCN的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式寫出二次函數解析式，進而得出a的值，得出解析式即可；
（2）首先得出△AOB∽△CDA，進而得出y與x之間的函數關系，即可得出點C的坐標，根據PH=

1

2

（OB+CD）求出P點坐標即可；
（3）首先設點N的坐標為（t，-

1

4

t²+t-1），得出S△BCN=S△BMN+S△CMN=

1

2

MN×10，求出直線BC的解析式，進而表示出M點坐標，即可得出△BCN與t的函數關系式，求出最值即可．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點是A（2，0），
設拋物線的解析式為y=a（x-2）²．
由拋物線過B（0，-1）得：4a=-1，
∴a=-

1

4

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

(x-2)2．
即y=-

1

4

x2+x-1．

（2）如圖1，設C的坐標為（x，y）．
∵A在以BC為直徑的圓上．∴∠BAC=90°．
作CD⊥x軸于D，連接AB、AC．
∵∠OAB+∠DAC=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△CDA，
∴

OB

AD

=

OA

CD

∴OB•CD=OA•AD．
即1•|y|=2（x-2）．∴|y|=2x-4．
∵點C在第四象限．
∴y=-2x+4，
由

y=-2x+4 y=- 1 4 x2+x-1

，
解得

x1=10 y1=-16

，

x2=2 y2=0

．
∵點C在對稱軸右側的拋物線上．
∴點C的坐標為 （10，-16），
∵P為圓心，∴P為BC中點．
取OD中點H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線．
∴PH=

1

2

（OB+CD）=

17

2

．
∵D（10，0）∴H（5，0）
∴P （5，-

17

2

）．
故點P坐標為（5，-

17

2

）．

（3）如圖2，設點N的坐標為（t，-

1

4

t²+t-1），直線x=t（0＜t＜10）與直線BC交于點M．
S△BMN=

1

2

MN•t，S△CMN=

1

2

MN•(10-t)，
所以S△BCN=S△BMN+S△CMN=

1

2

MN×10，
設直線BC的解析式為y=kx+b，直線BC經過B（0，-1）、C （10，-16），
所以

b=-1 10k+b=-16

成立，
解得：

k=- 3 2 b=-1

，
所以直線BC的解析式為y=-

3

2

x-1，則點M的坐標為（t，-

3

2

t-1），
MN=(-

1

4

t2+t-1)-(-

3

2

t-1)=-

1

4

t2+

5

2

t，
S△BCN=

1

2

(-

1

4

t2+

5

2

t)×10，
=-

5

4

t2+

25

2

t
=-

5

4

(t-5)2+

125

4

，
所以，當t=5時，S_△BCN有最大值，最大值是

125

4

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求一次函數解析式和相似三角形的判定與性質等知識，根據已知利用數形結合得出是解題關鍵．