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【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得點O在邊AB上，且⊙O經過B、D兩點；并證明AC與⊙O相切．（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析

【解析】

作BD的垂直平分線交AB于O，再以O點為圓心，OB為半徑作圓即可；接著證明OD∥BC得到∠ODC＝90°，然后根據切線的判定定理可判斷AC為⊙O的切線．

解：如圖，⊙O為所作．

證明：連接OD，如圖，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠CBD＝∠ODB，

∴OD∥BC，

∴∠ODA＝∠ACB，

又∠ACB＝90°，

∴∠ODA＝90°，

即OD⊥AC，

∵點D是半徑OD的外端點，

∴AC與⊙O相切．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，，是線段延長線上一點，連接，過點作于.

（1）求證：.

（2）將射線繞點順時針旋轉后，所得的射線與線段的延長線交于點，連接.

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】某商店購進一批成本為每件30元的商品，商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售．經調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．

（1）求該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；

（2）銷售單價定為多少元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤高于800元，請直接寫出每天的銷售量y（件）的取值范圍．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，邊長為的正方形的對角線與交于點，將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點，則（ ）

A. B. C. D.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】數學興趣小組想利用所學的知識了解某廣告牌的高度，已知CD＝2m．經測量，得到其它數據如圖所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，請你根據以上數據計算GH的長．（參考數據，，）

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（1，0）．

（1）當b＝2，c＝﹣3時，求二次函數的解析式及二次函數最小值；

（2）二次函數的圖象經過點B（m，e），C（3﹣m，e）且對任意實數x，函數值y都不小于﹣．

①求此時二次函數的解析式；

②若次函數與y軸交于點D，在對稱軸上存在一點P，使得PA+PD有最小值，求點P坐標及PA+PD的最小值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線.

（1）我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“方點”.試求拋物線的“方點”的坐標；

（2）如圖，若將該拋物線向左平移1個單位長度，新拋物線與軸相交于、兩點（在左側），與軸相交于點，連接.若點是直線上方拋物線上的一點，求的面積的最大值；

（3）第（2）問中平移后的拋物線上是否存在點，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應地任務：

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數，公式和定理，下面是歐拉發現的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則.

如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內切圓，⊙I與AB相切分于點F，設⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.

∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等)，

∴△MDI∽△ANI，

∴，

∴①，

如圖2，在圖1(隱去MD，AN)的基礎上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF，

∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°，

∵⊙I與AB相切于點F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA，

∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等)，

∴△AIF∽△EDB，

∴，∴②，

任務：(1)觀察發現：， (用含R，d的代數式表示)；

(2)請判斷BD和ID的數量關系，并說明理由；

(3)請觀察式子①和式子②，并利用任務(1)，(2)的結論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；

(4)應用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內心之間的距離為 cm.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分線BE與AD交于點E，∠BED的角平分線EF與DC交于點F，若AB=8，DF=3FC，則BC=__________.

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