Question

【題目】內接于，為的中點，連接，交邊于點，且.

（1）如圖1，求的度數；

（2）如圖2，作于點，于點，交于點，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）60° （2）見解析 （3）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質結合圓周角定理得出答案；
（2）過做，垂足為，連接，利用AAS得出，進而得出答案；
（3）首先證明四邊形是菱形，可證（SAS），則可得是等邊三角形， 設，則，，， ，根據四邊形內接于，則有：，可得（SAS），設，則，利用勾股定理得，，，

，，再根據，得

解得，進而得出答案．

（1）如圖示，連接，

，，

，

.

（2）如圖示，連接，過做，垂足為，連接，

∵，∴，

∴

∵為弧中點，，

，

，

又∵

（AAS），

∴.

∴.

（3）連接，延長至，使，連接，

由（2）可知，，，

∴四邊形是菱形

∴，

∵為的中點，

∴，

又∵

（SAS），

∴

，

∴是等邊三角形，

∴，

設，則，

，

∴

四邊形內接于，

則有：，

∴

（SAS）.

，.

設，則，

∵，

∴，，

則，，

，

又∵是等邊三角形，

∴，

則由勾股定理可求得：.

∴，

又，

∴

即

∴

解得，

．