Question

【題目】如圖1，在菱形中，，.動點從點出發，沿邊以每秒1個單位長度的速度運動到點時停止，連接，點與點關于直線對稱，連接，，設運動時間為（秒）.

（1）菱形對角線的長為 ；

（2）當點恰在上時，求t的值；

（3）當時，求的周長；

（4）直接寫出在整個運動過程中，點運動的路徑長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】

(1)連接BD,利用菱形的性質可得,即可利用特殊直角三角形邊長比解出AC.

(2)利用條件證明,列出等式即可算出t的值.

(3)①當P是BC中點,作AE⊥BC,根據條件求出△AQP的周長即可求出△ABP的周長;②當P是CD中點,連接BD,利用等邊三角形的性質求出周長即可.

(4)利用弧長公式求出即可.

解：（1）如圖，連接交于，

∵菱形中，，，

∴，

∴，，

∴，

故答案為：；

（2）如圖，菱形中，，

∴，

又∵是萎形的對角線，

∴，

∵點與點關于直線對稱，

∴，

∴，，，

∴，，

即，

解得；

（3）當時，有兩種情況：點是的中點；點是的中點.

①當點是的中點時，如圖，過作于，

在中，,

∴，，

在中，，，

∴.

∴的周長的周長；

②當點是的中點時，如圖，連接，則是等邊三角形，

∴，

在中，，

與①同理，得，

∴的周長；

（4）由題可得，點運動路徑為以點為圓心，6為半徑，圓心角為的弧，

∴點運動的路徑長為.