Question

【題目】如圖1，四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，6），點P從點O出發，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A出發，同時點Q從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，當點P與點A重合時運動停止．設運動時間為t秒．

（1）當t=2時，線段PQ的中點坐標為_____；

（2）當△CBQ與△PAQ相似時，求t的值；

（3）當t=1時，拋物線y=x2+bx+c經過P，Q兩點，與y軸交于點M，拋物線的頂點為K，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）(，2)；（2）或；（3）存在；D(﹣，)或(，)．

【解析】

（1）根據點P，Q的運動速度找出當t＝2時，點P，Q的坐標，再利用中點坐標公式即可求出此時線段PQ的中點坐標；

（2）根據點P，Q的運動速度找出運動時間為t秒時，PA，QA，QB，CB的值，由∠B＝∠A＝90°，可得出當或時，△CBQ與△PAQ相似，代入各線段的值即可求出t值；

（3）當t=1時，先求出P，Q的坐標，然后求出拋物線的解析式，配方求出頂點K的坐標．分兩種情況討論，利用相似三角形的判定與性質求出HQ、OQ的解析式，再和拋物線解析式聯立解方程組即可得出結論．

（1）當t＝2時，點P的坐標為（2，0），點Q的坐標為（3，4），∴線段PQ的中點坐標為（），即（，2）．

故答案為：（，2）．

（2）當運動時間為t（0≤t≤3）秒時，點P的坐標為（t，0），點Q的坐標為（3，2t），∴PA＝3﹣t，QA＝2t，QB＝6﹣2t，CB＝3．

∵∠B＝∠A＝90°，∴當或時，△CBQ與△PAQ相似．

①當時，，解得：t1，t2（不合題意，舍去）；

②當時，，解得：t或t=3（舍去）．

綜上所述：t的值為或．

（3）當t=1時，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入拋物線y=x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線：y=x2﹣3x+2=，∴頂點K（，）．

∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x軸．

作拋物線對稱軸，交MQ于E，∴KM=KQ，KE⊥MQ，∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ．

如圖2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，設DQ交y軸于H．

∵∠HMQ=∠QEK=90°，∴△KEQ∽△QMH，∴，∴，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式為：，則，x2﹣3x+2=，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）；

同理，在M的下方，y軸上存在點H，如圖3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE．

由對稱性得：H（0，0），易得OQ的解析式：，則，x2﹣3x+2=，解得：x1=3（舍），x2=，∴D（，）．

綜上所述：點D的坐標為：D（，）或（，）．