Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE，△ADE沿DE折疊后得到△FDE，點F在矩形ABCD的內部，延長DF交于BC于點G．

（1）求證：FG=BG；
（2）若AB=6，BC=4，求DG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接EG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∵△ADE沿DE折疊后得到△FDE，

∴AE=EF，∠DFE=∠A=90°，

∴∠GFE=∠B，

∵E是邊AB的中點，

∴AE=BE，

∴EF=EB，

在Rt△EFG與Rt△EBG中， ，

∴Rt△EFG≌Rt△EBG；

∴FG=BG

（2）

解：∵AB=6，BC=4，△ADE沿DE折疊后得到△FDE，

∴DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，

∵Rt△EFG≌Rt△EBG，

∴∠FEG=∠BEG，

∴∠DEF+∠FEG=90°，

∵EF⊥DG，

∴EF2=DFFG，

∴FG= ，

∴DG=FG+DF= ．

【解析】（1）連接EG，根據矩形的性質得到∠A=∠B=90°，根據折疊的性質得到AE=EF，∠DFE=∠A=90°，根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）根據折疊的性質得到DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，根據全等三角形的性質得到∠FEG=∠BEG，得到∠DEF+∠FEG=90°，根據射影定理即可得到結論．