Question

【題目】如圖，圓O的直徑為5，在圓O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，已知BC∶CA＝4∶3，點P在半圓弧AB上運動(不與A、B重合)，過C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點

(1)求證：AC·CD＝PC·BC；

(2)當點P運動到AB弧中點時，求CD的長；

(3)當點P運動到什么位置時，△PCD的面積最大？并求這個最大面積S．

Answer 1

【答案】（1）略

（2）

（3）

【解析】

解：(1)∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．

而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴．

∴AC·CD＝PC·BC；

(2)當點P運動到AB弧中點時，過點B作BE⊥PC于點E．

∵P是AB中點，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2．

又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝．

從而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝

(3)當點P在AB上運動時，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC．

∴S△PCD＝PC2．故PC最大時，S△PCD取得最大值；

而PC為直徑時最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝．