Question

【題目】如圖，將一個直角三角形紙片，放置在平面直角坐標系中，點，點，點.將沿翻折得到（點為點的對應點）.

（Ⅰ）求的長及點的坐標；

（Ⅱ）點是線段上的點，點是線段上的點.

①已知，，是軸上的動點，當取最小值時，求出點的坐標及點到直線的距離；

②連接，，且，現將沿翻折得到（點為點的對應點），再將繞點順時針旋轉，旋轉過程中，射線，交直線分別為點，，最后將沿翻折得到（點為點的對應點），連接，若，求點的坐標（直接寫出結果即可）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），點坐標為；（Ⅱ）①點的坐標為，點到直線的距離為；②或或.

【解析】

（Ⅰ）根據A點坐標和翻折的性質可得四邊形OBAD為正方形，即可得出D點坐標，再利用勾股定理得出OA的長.

（Ⅱ）①作點關于軸的對稱點，連接與軸交于點，則點即為所求，再根據待定系數法確定直線的解析式，求出直線與x軸的交點的坐標，再根據等積法求出點到直線的距離即可.

②分(a)當點M在線段EA的延長線上，點N在線段AE時，（b）當點M，N在線段EA上時，(c)當點M在線段EA上，點N在AE的延長線上時，三種情況進行討論，作MH⊥OB于H，GK⊥EB于K,然后證明△AMH≌△GAK，推出HM=EH=BK，BH=GK，所以BH=EK=GK，從而得出∠MEG=90°，由NE：EG=5：12，設NE=5k，EG=12k，則MN=NG=13k，EM=18k，可得BH=GK=EK=6k，EH=MH=9k，再根據HE=AH+AE，得出關于k的方程，得出k的值即可解決問題；

解：（Ⅰ）如圖，∵，，

∴，.

在中，.

∵，

∴.

∵將沿翻折得到，

∴.

∴

∴點落在軸上.點坐標為.

（Ⅱ）①如圖，作點關于軸的對稱點，連接與軸交于點，連接，若在軸上任取點（與點不重合）．連接，，，

由，

可知最小.

∵將沿翻折得到.

∴，

∵，

.

∴.

∵，

∴.

設直線的方程為.

將的坐標代入，

得，

解得.

∴直線的方程為

當時，，

∴當取最小值時，點的坐標為.

在中，，.

∴.

過點作，垂足為點，

∵，

∴

∴當取最小值時，點到直線的距離為.

②(a)如圖3中，當點M在線段EA的延長線上，點N在線段AE時，

作MH⊥OB于H，GK⊥EB于K,

由翻折可知：∠MBN=∠NBG=45°，BM=BG，
∴∠MBG=90°，
∵∠MHB=∠K=90°，
∴∠MBH+∠GBK=90°，∠HBM+∠BMH=90°，
∴∠BMH=∠GBK，
∴△BMH≌△GBK，
∴HM=EH=BK，BH=GK，
∴BH=EK=GK，
∴∠GEK=∠BEA=45°，
∴∠MEG=90°，
∵NE：EG=5：12，設NE=5k，EG=12k，則MN=NG=13k，EM=18k，
∴BH=GK=EK=6k，EH=MH=9k，
∵HE=BH+BE，
∴9k=6k+3，
∴k=，∴EH=MH=9,
∴OH=3．∴點的坐標為
（b）如圖4中，當點M，N在線段EA上時，同法可得：點的坐標為.

（c）如圖5中，當點M在線段EA上，點N在AE的延長線上時，同法可得：點的坐標為．

綜上所述，點的坐標或或．