Question

【題目】如圖，在中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作于點H，連接DE交線段OA于點F．

（1）試猜想直線DH與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AE=AH，EF=4，求DF的值．

Answer 1

【答案】（1）直線與⊙O相切，理由見解析；（2）DF=6

【解析】

（1）連接，根據等腰三角形的性質可得，，可得，即可證明OD//AC，根據平行線的性質可得∠ODH=90°，即可的答案；

（2）連接，由圓周角定理可得∠B=∠E，即可證明∠C=∠E，可得CD=DE，由AB是直徑可得∠ADB=90°，根據等腰三角形“三線合一”的性質可得HE=CH，BD=CD，可得OD是△ABC的中位線，即可證明，根據相似三角形的性質即可得答案.

（1）直線與⊙O相切，理由如下：

如圖，連接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

，

∵，

∴∠ODH=∠DHC=90°，

∴DH是⊙O的切線.

（2）如圖，連接，

∵∠B和∠E是所對的圓周角，

∴，

∵

∴

∴DC＝DE

∵，

∴HE=CH

設AE=AH=x，則，，

∵是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°

∵AB=AC

∴BD＝CD

∴OD是的中位線，

，，

∴，

∴，

∵EF=4

∴DF=6