Question

13、AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高．從A引EF的垂線l₁，從B引FD的垂線l₂，從C引DE的垂線l₃．求證：l₁，l₂，l₃三線共點．

Answer 1

分析：設l₁、l₂交于O點，證明O點為AC中垂線上的點，設l₂、l₃交于O′點，同理可證O′為BC中垂線上的點，根據三角形的三邊中垂線交于一點，可證l₁，l₂，l₃三線共點．

解答：證明：設l₁、l₂交于O點，
∵∠ADB=∠AEB=90°，
∴A、B、D、E四點共圓，
∴∠BED=∠BAD，
同理，由B、C、E、F四點共圓，得∠BEF=∠BCF，
由互余關系可知∠BAD=∠BCF，
∴∠BEF=∠BED，
又BE⊥AE，l₁⊥EF，
∴∠BEF=∠OAE，
同理可證∠BED=∠OCE，∴∠OAE=∠OCE，
∴O點為AC中垂線上的點，
設l₂、l₃交于O′點，
同理可證O′為BC中垂線上的點，
∵三角形的三邊中垂線交于一點（外心），
∴l₁，l₂，l₃三線共點．

點評：本題考查了四點共圓的判定與性質，圓內接四邊形的性質．關鍵是利用四點共圓的性質，互余關系推出角相等，得到等腰三角形，證明等腰三角形的頂點為三角形三邊中垂線上的點，利用外心的性質進行判斷．