Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E.若一個三角形模板與△ABE完全重合地疊放在一起，現將該模板繞 點E順時針旋轉.要使該模板旋轉60°后，三個頂點仍在平行四邊形ABCD的邊上，請探究平行四邊形ABCD的角和邊需要滿足的條件.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

三角形模板繞點E旋轉60°后，E為旋轉中心，位置不變，仍在邊BC上，過點E分別做射線EM，EN，EM，EN分別AB,CD于F,G使得∠BEM=∠AEN=60°，可證△BEF為等邊三角形，即EB=EF，故B的對應點為F.根據SAS可證，即EA=GE

，故A的對應點為G. 由此可得：要使該模板旋轉60°后，三個頂點仍在平行四邊形ABCD的邊上, 平行四邊形ABCD的角和邊需要滿足的條件是:∠ABC=60°，AB=BC.

解：要使該模板旋轉60°后，三個頂點仍在 的邊上，的角和邊需要滿足的條件是：∠ABC=60°，AB=BC

理由如下：

三角形模板繞點E旋轉60°后，E為旋轉中心，位置不變，仍在邊BC上，過點E分別做射線EM，EN，使得∠BEM=∠AEN=60°，

∵AE⊥BC，即∠AEB=∠AEC=90°，

∴∠BEM<∠BEA

∴射線EM只能與AB邊相交，記交點為F

在△BEF中，

∵∠B=∠BEF=60°，

∴∠BFE=180°-∠B-∠BEF=60°

∴∠B=∠BEF=∠BFE=60°

∴△BEF為等邊三角形

∴EB=EF

∵當三角形模板繞點E旋轉60°后，點B的對應點為F，此時點F在邊AB邊上

∵∠AEC=90°

∴∠AEN=60°<∠AEC

∴射線EN只可能與邊AD或邊CD相交

若射線EN與CD相交，記交點為G

在Rt△AEB中，∠1=90°-∠B=30°

∴BE=

∵AB=BC=BE+EC

∴EC=

∵∠GEC=∠AEC-∠AEG=90°-60°=30°

∵在中，AB//CD

∠C=180°-∠ABC=120°

又∵∠EGC=180°-120°-30°=30°

∴EC=GC

即AF=EF=EC=GC=,且∠1=∠GEC=30°

∴

∴EA=GE

∴當三角形模板繞點E旋轉60°后，點A的對應點為G，此時點G在邊CD邊上

∴只有當∠ ABC=60°, AB= BC時,三角形模板繞點E順時針旋轉60°后,三個頂點仍在平行四邊形ABCD的邊上.

∴要使該模板旋轉60°后，三個頂點仍在平行四邊形ABCD的邊上, 平行四邊形ABCD的角和邊需要滿足的條件是:∠ABC=60°，AB=BC.