Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點P（-1，2），AB⊥x軸于點E，正比例函數y=mx的圖像與反比例函數的圖像相交于A，P兩點。

（1）求m，n的值與點A的坐標；

（2）求證：∽

（3）求的值

Answer 1

【答案】（1），，點的坐標是；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據點P的坐標，利用待定系數法可求出m，n的值，利用正、反比例函數圖象的對稱性結合點P的坐標找出點A的坐標即可解答；

（2）由菱形的性質可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行線的性質可得出∠DCP=∠OAE，結合AB⊥x軸可得出∠AEO=∠CPD=90°，進而即可證出△CPD∽△AEO；

（3）由點A的坐標可得出AE，OE，AO的長，由相似三角形的性質可得出∠CDP=∠AOE，再利用正弦的定義即可求出sin∠CDB的值．

解：（1）∵正比例函數，反比例函數均經過點，

∴，，

解得：，.

∴正比例函數，反比例函數.

又正比例函數與反比例函數均是中心對稱圖形，則其兩個交點也成中心對稱點，

∵，

∴點的坐標是.

（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB∥CD，

∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．

∵AB⊥x軸，

∴∠AEO=∠CPD=90°，

∴△CPD∽△AEO．

（3）∵點的坐標是.

∴，，

∴，

∵，

∴△CPD∽△AEO，

∴.