Question

【題目】已知拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點（點在點右側），與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式和，兩點的坐標；

（2）如圖1，若點是拋物線上、兩點之間的一個動點（不與、重合），是否存在點，使四邊形的面積最大？若存在，求點的坐標及四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若點是拋物線上任意一點，過點作軸的平行線，交直線于點，當時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），點的坐標為，點的坐標為；（2）存在點，使四邊形的面積最大；點的坐標為，四邊形面積的最大值為32；（3）點的坐標為、、或．

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸是直線 x＝3，解出 a的值，即可求得拋物線解析式，在

令其 y值為零，解一元二次方程即可求出 A和 B的坐標；

（2）易求點 C的坐標為（0，4），設直線 BC的解析式為 y＝kx+b（k≠0），將 B（8，0），

C（0，4）代入 y＝kx+b，解出 k和 b的值，即得直線 BC的解析式；設點 P的坐標為 ，過點 P作 PD∥y軸，交直線 BC于點 D，則點 D的坐標為 ， 利用關系式 S四邊形 PBOC＝S△BOC+S△PBC得出關于 x的二次函數，從而求得其最值；

（3）設點 M的坐標為 則點 N的坐標為 ， ，分當 0＜m＜8時，或當 m＜0或 m＞ 8時來化簡絕對值，從而求解．

（1）拋物線的對稱軸是直線，

，解得，

拋物線的解析式為：．

當時，，解得，，

點的坐標為，點的坐標為．

答：拋物線的解析式為：；點的坐標為，點的坐標為．

（2）當時，，

點的坐標為．

設直線的解析式為，將，代入得

，解得，

直線的解析式為．

假設存在點，使四邊形的面積最大，

設點的坐標為，如圖所示，過點作軸，交直線于點，則點的坐標為，

則，

當時，四邊形的面積最大，最大值是32

，

存在點，使得四邊形的面積最大．

答：存在點，使四邊形的面積最大；點的坐標為，四邊形面積的最大值為32．

（3）設點的坐標為，則點的坐標為，

，

又，

，

當時，，解得，，

點的坐標為或；

當或時，，解得，，

點的坐標為或．

答：點的坐標為、、或．