Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2x+c與y軸交于點A，與x軸交于點B（3，0）、C（﹣1，0）兩點．

（1）求直線AB和拋物線的表達式；

（2）當點F為直線AB上方拋物線上一動點（不與A、B重合），過點F作FP//x軸交直線AB于點P；過點F作FR//y軸交直線AB于點R，求PR的最大值；

（3）把射線BA繞著點B逆時針旋轉90°得到射線BM，點E在射線BM運動（不與點B重合），以BC、BE為鄰邊作平行四邊形BCDE，點H為DE邊上動點，連接CH，請直接寫出CH+HE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，直線AB的解析式為y＝﹣x+3；（2）PR有最大值為；（3）最小值為2．

【解析】

（1）將點B，C坐標代入拋物線解析式中，即可求出a，c，進而求出點A的坐標，再用待定系數法求出直線AB的解析式；

（2）先判斷出∠OBA＝∠OAB＝45°，進而判斷出∠FPR＝∠FRP＝45°，得出∠PFR＝90°，PF＝FR，進而得出PR＝FR，再設點R（t，﹣t+3），得出點F（t，﹣t2+2t+3），進而得出PR＝FR＝﹣（t﹣）2+，即可得出結論；

（3）過點C作CG⊥BM于G，交DE于點H，先判斷出∠DEG＝∠CBE＝45°，進而判斷出HG＝HE，根據垂線段最短和銳角三角函數即可得出結論．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+2x+c經過點B（3，0）、C（﹣1，0），

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

令x＝0，則y＝3，

∴A（0，3），

∴設直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），

∵直線AB經過點A（0，3）、B（3，0），

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3；

（2）∵A（0，3），B（3，0），

∴OA＝OB＝3，

∵∠AOB＝90°，

∴∠OBA＝∠OAB＝45°，

∵FP//x軸，FR//y軸，

∴∠FPR＝∠OBA＝45°，∠FRP＝∠OAB＝45°，

∴∠FPR＝∠FRP＝45°，

∴∠PFR＝90°，PF＝FR，

根據勾股定理得，PR＝FR，

∵點R在直線AB上，

∴設點R（t，﹣t+3），

∵FR//y軸，

∴點F的橫坐標為t，

∵點F在拋物線y＝﹣x2+2x+3上，

∴點F（t，﹣t2+2t+3），

∴PR＝FR＝ [（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）]＝﹣（t﹣）2+，

∵a＝﹣＜0，拋物線的開口向下，二次函數有最大值，

當t＝時，PR有最大值，PR的最大值為；

（3）如圖，過點C作CG⊥BM于G，交DE于點H，

∵把射線BA繞著點B逆時針旋轉90°得到射線BM，

∴∠ABM＝90°，

∵∠OBA＝45°，

∴∠CBE＝∠ABM﹣∠OBA＝45°，

∵DE//CB，

∴∠DEG＝∠CBE＝45°，

在Rt△HGE中，HG＝HEsin45°＝HE，

根據垂線段最短得，（CH+HE）最小＝CG，

∴CH+HE＝CG＝CBsin45°＝2，

即CH+HE的最小值為2．