Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，點E，F分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線折疊∠C，使點C的對應點D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則BD的長為__________．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

連接CD，先根據折疊的性質得出，再根據△EFC和△ABC相似，分兩種情況討論：當時，先推出CD⊥AB，進而根據同角三角函數相等得出的值；當時，先推出，，進而根據等角對等邊求解．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，

∴，

若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：

①當時，EF∥AB，

連接CD，如圖1所示：

∵由折疊性質可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，

∴cosB，

∵在Rt△BDC中，cosB，

∴BD=BCcosB=4；

②當時，∠CEF=∠A，

連接CD，如圖2所示：

∵由折疊性質可知，CD⊥EF，

∴∠CEF+∠ECD=90°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠B=∠ECD，

∴BD=CD，

同理可得：∠A=∠FCD，AD=CD，

∴D點為AB的中點，

∴BDAB，

故答案為：或．