Question

已知以x為自變量的二次函數y=x²-（2m-2）x+（m²-m-2）的圖象經過原點O，并與x軸相交于點M，且M在原點的右邊．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）一次函數y=kx+b的圖象經過點M，與這個二次函數的圖象交于點N，且△OMN的面積等于3，求這個一次函數的解析式．

Answer 1

解：（1）∵二次函數y=x²-（2m-2）x+（m²-m-2）的圖象經過原點O，
∴m²-m-2=0，解得m=-1，m=2．
當m=-1時，二次函數的解析式為y=x²+4x，它的圖象經過原點，并與x軸相交于原點左邊的點（-4，0），（不合題意，舍去）；
當m=2時，二次函數的解析式為y=x²-2x，它的圖象經過原點，并與x軸相交于原點右邊的點（2，0），符合題意，所以所求的二次函數的解析式為y=x²-2x．

（2）由（1）中二次函數y=x²-2x，它的圖象經過原點，且與x軸相交于點M（2，0），
設點N的坐標為（x，y），則S_△OMN=×2×|y|=3，
∴|y|=3，
∵二次函數y=x²-2x的圖形是開口向上，頂點為（1，-1）的拋物線；
∴拋物線上沒有縱坐標為-3的點，
∴y=3，
當y=3時，x²-2x=3，解得x=3，x=-1．
則點N₁（3，3），N₂（-1，3）．
當函數y=kx+b的圖形經過點M（2，0），N₁（3，3）時，則：
，
解得；
∴所求一次函數的解析式為y=3x-6．
當函數y=kx+b的圖形經過點M（2，0），N₂（-1，3）時，則：
，
解得，
∴所求一次函數的解析式為y=-x+2．
分析：（1）已知函數圖象經過原點，可將原點坐標代入拋物線的解析式中，可求得m的值，然后根據函數與x軸的另一交點在原點右邊，可將不合題意的m的值舍去．
（2）可根據三角形OMN的面積求得N點的縱坐標的絕對值，然后將其代入拋物線的解析式中即可求得N點的坐標，根據M、N兩點的坐標即可求出直線的解析式．
點評：本題主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式及二次函數圖象上點的坐標特點．