Question

2．如圖所示，兩個村莊A，B在河CD的兩側，A，B兩側到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，現要在河邊CD上建造一水廠，向A，B兩村送自來水，鋪設水管的工程費用為每千米20000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設水管的費用最省，并求出最省的鋪設水管的費用W．

Answer 1

分析 由于鋪設水管的工程費用為每千米20000元，是一個定值，現在要在CD上選擇水廠位置，使鋪設水管的費用最省，意思是在CD上找一點P，使AP與BP的和最小，設M是A的對稱點，使AP+BP最短就是使MP+BP最短．

解答 解：如圖所示：延長AC到點M，使CM=AC；連接BM交CD于點P，
點P就是所選擇的位置．
在直角三角形BMN中，
BN=3+1=4，MN=3，
∴MB=$\sqrt{M{N}^{2}+B{N}^{2}}$=5（千米），
∴最短路線AP+BP=MB=5，
最省的鋪設管道的費用為W=5×20000=100000（元）．
答：最省的鋪設管道的費用是10萬元．

點評 此題主要考查了最短路徑問題，解這類問題的關鍵是將實際問題抽象或轉化為幾何模型，把兩條線段的和轉化為一條線段，運用三角形三邊關系解決．