Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，D為弧AC的中點，DG⊥AB于G，交AC于E，AC、BD相交于F．

（1）求證：AE＝DE；

（2）若AG＝2，DG＝4，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF＝5．

【解析】

（1）根據已知條件得到∠CAD=∠ABD，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，根據余角的性質得到∠ADG=∠ABD，根據等腰三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據勾股定理得到AD= ，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）∵D為的中點，

∴，

∴∠CAD＝∠ABD，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵DG⊥AB于G，

∴∠AGD＝90°，

∴∠DAG+∠ABD＝∠DAG+∠ADG＝90°，

∴∠ADG＝∠ABD，

∴∠ADG＝∠DAE，

∴AE＝DE；

（2）∵AG＝2，DG＝4，

∴AD＝，

∵∠DAF＝∠ADG，∠AGD＝∠ADF，

∴△ADF∽△DGA，

∴，

∴AF＝＝5．