Question

【題目】已知，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為．

（1）如圖1，分別求的值；

（2）如圖2，點為第一象限的拋物線上一點，連接并延長交拋物線于點，，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，點為第一象限的拋物線上一點，過點作軸于點，連接、，點為第二象限的拋物線上一點，且點與點關于拋物線的對稱軸對稱，連接，設，，點為線段上一點，點為第三象限的拋物線上一點，分別連接，滿足，，過點作的平行線，交軸于點，求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）．

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；
（2）作軸于K，軸于L，OD=3OE，則OL=3OK，DL=3KE，設點E的橫坐標為t，則點D的橫坐標為-3t，則點E、D的坐標分別為：（t，）、（-3t，-+3t+），即可求解；

（3）設點的橫坐標為，可得PH=m2+m-，過作EF∥y軸交于點交軸于點，TE=PH+YE=m2+m-+2=（m+1）2，tan∠AHE=，tan∠PET=，而∠AHE+∠EPH=2α，故∠AHE=∠PET=∠EPH=α，PH=PQtanα，即m2+m-=（2m+2）×，解得：m=2-1，故YH=m+1=2，PQ=4，點P、Q的坐標分別為：（2-1，4）、（-2-1，4），tan∠YHE=，tan∠PQH=；證明△PMH≌△WNH，則PH=WH，而QH=2PH，故QW=HW，即W是QH的中點，則W（-1，2），再根據待定系數法即可求解．

解：（1）把、分別代入得：

，解得；

（2）如圖2，由（1）得，作軸于K，軸于L，

∴EK∥DL，∴．

∵，∴，

設點的橫坐標為，，，

∴的橫坐標為，分別把和代入拋物線解析式得，

∴，

∴，．

∵，

∴，∴，

∴，

∴，

解得（舍），，

∴．

（3）如圖3，設點的橫坐標為，把代入拋物線得，

∴．

過作EF∥y軸交于點交軸于點，∴軸．

∵點與點關于拋物線的對稱軸對稱，∴PQ∥x軸，，

∴，點坐標為，

又∵軸，∴ET∥PH，∴，

∴，∴四邊形為矩形，

∴，∴，

∴，，，

∴．

∴，，

∴，∴．

又∵，∴．

∵，

∴解得，

∵，∴．

∴，，

把代入拋物線得，∴，∴，

∴，∴，∴，

∴，∴．

若交于點，

∵NF∥PE，∴，∴，

∵，∴，

∴，，，

∴，∴，∴．

作WS∥PQ，交于點交軸于點，

∴△WSH∽△QPH，∴．

∵∴，

∴，，

∴．

∵，∴，∴．

設的解析式為，把、代入得，

解得，∴．

∵FN∥PE，∴設的解析式為，把代入得，

∴的解析式為．