Question

16．如圖，以△ABC三邊向外作三個正方形，O₁，O₂，O₃為相應正方形的中心，求證：AO₃=O₁O₂，且AO₃⊥O₁O₂．

Answer 1

分析 作O₂E⊥AC、O₃D⊥BC證△PDO₃≌△PEO₂得PO₂=PO₃、∠PO₂E=∠DPO₃，進而可推得∠O₁PO₂=∠APO₃；再證△O₁PO₂≌△APO₃可知AO₃=O₁O₂、∠PO₁O₂=∠PAO₃，根據∠PO₁O₂+∠PHO₁=90°、∠PHO₁=∠AHO₂易知O₁O₂⊥AO₃．

解答 證明：如圖，分別過O₂、O₃作O₂E⊥AC，O₃D⊥BC，連接PD、PE，記O₁O₂與AO₃交點為H，PO₂與AC交點為G，

∵O₁，O₂，O₃為相應正方形的中心，
∴AE=CE=EO₂=$\frac{1}{2}$AC，O₃D=CD=BD=$\frac{1}{2}$BC，∠BDO₃=∠AEO₂=90°
∵P、D、E均為中點，
∴PD、PE均為△ABC的中位線，
∴PD=$\frac{1}{2}$AC=O₂E，PD∥AC，PE=$\frac{1}{2}$BC=O₃D，PE∥BC，
∴∠BDP=∠BCA=∠PEA，
∴∠PDO₃=∠PEO₂，
在△PDO₃和△PEO₂中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD={O}_{2}E}\\{∠PD{O}_{3}=∠PE{O}_{2}}\\{D{O}_{3}=PE}\end{array}\right.$，
∴△PDO₃≌△PEO₂（SAS），
∴PO₂=PO₃，∠PO₂E=∠DPO₃，
∵∠O₂GE+∠PO₂E=90°，∠O₂GE=∠GPD，
∴∠O₃PD+∠GPD=90°，即∠O₃PO₂=90°，
又∵∠O₁PO₂=∠O₁PA+∠APO₂=90°+∠APO₂，∠APO₃=∠O₃PO₂+∠APO₂=90°+∠APO₂，
∴∠O₁PO₂=∠APO₃，
在△O₁PO₂和△APO₃中，
$\left\{\begin{array}{l}{{O}_{1}P=AP}\\{∠{O}_{1}P{O}_{2}=∠AP{O}_{3}}\\{P{O}_{2}=P{O}_{3}}\end{array}\right.$，
∴△O₁PO₂≌△APO₃（SAS），
∴AO₃=O₁O₂，∠PO₁O₂=∠PAO₃，
又∵∠PO₁O₂+∠PHO₁=90°，且∠PHO₁=∠AHO₂，
∴∠PAO₃+∠AHO₂=90°，
∴O₁O₂⊥AO₃，
故O₁O₂=AO₃，且O₁O₂⊥AO₃．

點評 本題主要考查全等三角形判定和性質及三角形中位線定理，通過構建△PDO₃≌△PEO₂來證明△O₁PO₂≌△APO₃是解題關鍵．