Question

11．綜合與探究：
如圖，A、B兩點分別位于原點左右兩側的x軸上，點P（2，m）在第一象限內，直線PA交y軸于點C（0，2），直線PB交y軸于點D，△AOP的面積為6．
（1）求△COP的面積；
（2）求點A的坐標及m的值；
（3）若△AOP與△BOP的面積相等，求直線BD的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）已知P的橫坐標，即可知道△OCP的邊OC上的高長，利用三角形的面積公式即可求解．
（2）求得△AOC的面積，即可求得A的坐標，利用待定系數法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得m的值．
（3）根據S_△AOP=S_△BOP，可以得到OB=OA，則A的坐標可以求得B的坐標，根據B、P坐標利用待定系數法即可求得BD的解析式．

解答 解：（1）作PE⊥y軸于E，
∵P的橫坐標是2，則PE=2，
∴S_△COP=$\frac{1}{2}$OC•PE=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

（2）∴S_△AOC=S_△AOP-S_△COP=6-2=4，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=4，即$\frac{1}{2}$×OA×2=4，
∴OA=4，
∴A的坐標是（-4，0）．
設直線AP的解析式是y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
則直線的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2，
當x=2時，y=3，即m=3；

（3）∵S_△AOP=S_△BOP，
∴OB=OA=4，則B的坐標是（4，0），
設直線BD的解析式是y=mx+n，則
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{2m+n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}}\\{n=6}\end{array}\right.$，
則BD的解析式是：y=-$\frac{3}{2}$x+6．

點評 本題考查了用待定系數法求一次函數的方法、三角形的面積、中線的性質等知識，正確理解點與函數的關系是解題關鍵．