Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連結CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結DF．給出以下四個結論：①；②點F是GE的中點；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正確的結論序號是（　　）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角邊角”證明△ABG和△BCD

全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=BD，然后求出，再求出△AFG和

△CFB相似，根據相似三角形對應邊成比例可得從而判斷出①正確；求出

，然后根據FE≠BE判斷出②錯誤；根據相似三角形對應邊成比例求出

再根據等腰直角三角形的性質可得然后整理即可得到判斷出

③正確；過點F作MF⊥AB于M，根據三角形的面積整理即可判斷出④錯誤．

∵∠ABC=90°，BG⊥CD，

∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，

∴∠ABG=∠BCD，

在△ABC和△BCD中，

∴△ABG≌和△BCD（ASA），

∴AG=BD，

∵點D是AB的中點，

∴

∴

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∵AG⊥AB，

∴AG∥BC，

∴△AFG∽△CFB，

∴

∵BA=BC，

∴故①正確；

∵△AFG∽△CFB，

∴

∴

∵FE≠BE，

∴點F是GE的中點不成立，故②錯誤；

∵△AFG∽△CFB，

∴

∴

∵

∴故③正確；

過點F作MF⊥AB于M，則FM∥CB，

∴

∵

∴ 故④錯誤．

綜上所述，正確的結論有①③共2個．

故選：C．