Question

【題目】如圖，已知拋物線C1交直線y=3于點A（﹣4，3），B（﹣1，3），交y軸于點C（0，6）．

（1）求C1的解析式．

（2）求拋物線C1關于直線y=3的對稱拋物線的解析式；設C2交x軸于點D和點E（點D在點E的左邊），求點D和點E的坐標．

（3）將拋物線C1水平向右平移得到拋物線C3，記平移后點B的對應點B′，若DB平分∠BDE，求拋物線C3的解析式．

（4）直接寫出拋物線C1關于直線y=n（n 為常數）對稱的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）C1的解析式為y=x2+x+6；（2）拋物線C2的解析式為y=﹣x2﹣x，D（﹣5，0），E（0，0）；（3）拋物線C3的解析式為y=；（4）y=x2x+2n﹣6．

【解析】

（1）設拋物線C1經的解析式為y=ax2+bx+c，將點A、B、C的坐標代入求解即可得到解析式；

（2）先求出點C關于直線y=3的對稱點的坐標為(0,0)，設拋物線C2的解析式為y=a1x2+b1x+c1，即可求出答案；

（3）如圖，根據平行線的性質及角平分線的性質得到BB′=DB，利用勾股定理求出DB的長度即可得到拋物線平移的距離，由此得到平移后的解析式；

（4）設拋物線C1關于直線y=n（n 為常數）對稱的拋物線的解析式為y=mx+nx+k，根據對稱性得到m、n的值，再利用對稱性得到新函數與y軸交點坐標得到k的值，由此得到函數解析式.

（1）設拋物線C1經的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線C1經過點A（﹣4，3），B（﹣1，3），C（0，6）．

∴,

解得，

∴C1的解析式為y=x2+x+6；

（2）∵C點關于直線y=3的對稱點為（0，0），

設拋物線C2的解析式為y=a1x2+b1x+c1，

∴，

解得，

∴拋物線C2的解析式為y=﹣x2﹣x；

令y=0，則﹣x2﹣x=0，

解得x1=0，x2=﹣5，

∴D（﹣5，0），E（0，0）；

（3）如圖，

∵DB′平分∠BDE，

∴∠BDB′=∠ODB′，

∵AB∥x軸，

∴∠BB′D=∠ODB′，

∴∠BDB′=∠BB′D，

∴BB′=DB，

∵BD==5，

∴將拋物線C1水平向右平移5個單位得到拋物線C3，

∵C1的解析式為y=x2+x+6=（x+）2+，

∴拋物線C3的解析式為y=（x+﹣5）2+=；

（4）設拋物線C1關于直線y=n（n 為常數）對稱的拋物線的解析式為y=mx+nx+k，

根據對稱性得：新拋物線的開口方向與原拋物線的開口方向相反，開口大小相同，故m=-，對稱軸沒有變化，故n=-，

當n>6時，n+（n-6）=2n-6，故新拋物線與y軸的交點為（0，2n-6），

當n<6時，n-（6-n）=2n-6，新拋物線與y軸的交點為（0，2n-6），

∴k=2n-6，

∴拋物線C1關于直線y=n（n 為常數）對稱的拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣x+2n﹣6.