Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，點F為圓上一點，AE平分∠BAF交⊙O于點E，過點E作直線與AF垂直，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C
（1）試證明CD與⊙O相切于點E．
（2）若BC=2，AD=3，求⊙O的半徑及∠AED的度數．

Answer 1

分析 （1）要證CD是⊙O的切線，只要連接OE，再證∠OED=90°即可．
（2）設⊙O的半徑為x，由OE∥AD，得出比例式$\frac{OE}{AD}=\frac{OC}{AC}$，求出半徑，得出∠OCE=30°，由直角三角形的性質得出∠CAD=60°，求出∠CAE=∠DAE=30°，即可得出∠AED的度數．

解答 （1）證明：連接OE，如圖所示：
∵AE平分∠BAF，
∴∠CAE=∠DAE．
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠CAE．
∴∠DAE=∠OEA．
∴OE∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD，
∴CD與⊙O相切于點E；
（2）解：設⊙O的半徑為x，
由（1）得：OE∥AD，
∴$\frac{OE}{AD}=\frac{OC}{AC}$，即$\frac{x}{3}=\frac{x+2}{2x+2}$，
解得：x=2，或x=-1.5（不合題意，舍去），
∴⊙O的半徑為2，
在Rt△OCE中，OE=2，OC=2+2=4，
∴OC=2OE，
∴∠OCE=30°，
∴∠CAD=90°-30°=60°，
∴∠CAE=∠DAE=30°，
∴∠AED=90°-30°=60°．

點評 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質、平行線分線段成比例定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，運用平行線分線段成比例定理求出半徑是解決問題的關鍵．