Question

【題目】如圖，已知在中， ,,延長到，使，以為圓心， 長為半徑作⊙交延長線于點,連接．

（1）求證： 是⊙的切線；

（2）若,求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）陰影部分的面積為

【解析】分析：（1）連接OD，求出∠OAD=60°，得出等邊三角形OAD，求出AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，求出∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，求出∠ODC=90°，根據切線的判定得出即可；

（2）求出OD，根據勾股定理求出CD長，分別求出三角形ODC和扇形AOD的面積，相減即可．

本題解析：（1）證明：連接OD，

∵∠BCA=90°，∠B=30°，∴∠OAD=∠BAAC=60°，

∵OD=OA，∴△OAD是等邊三角形，∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，

∴∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，∴∠ODC=60°+30°=90°，即OD⊥DC，

∵OD為半徑，∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，∴OD=OA=AC=AB=2，

由勾股定理得：CD=，

∴S陰影=S△ODC﹣S扇形AOD=﹣= ．