Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第一象限拋物線上的一點，連接PA、PB、PO，

①若△POA的面積是△POB面積的倍．求點P的坐標；

②當四邊形AOBP的面積最大時，求點P的坐標；

（3）點M為直線AB上的動點，點N為拋物線上的動點，當以點O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；

（2）①P（，1），②P（1，0.5）；

（3）滿足條件的點M的坐標（1+， （1﹣））或（1﹣， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣））；

【解析】分析：（1）根據題意，先確定出點A，B坐標，再用待定系數法求出拋物線解析

（2）設出點P的坐標，①用△POA的面積是△POB面積的倍，建立方程求解即可；

②過點P作PH∥OB交AB于點H，設出H 點的坐標，再利用S四邊形=S△AOB+ S△PAB求解即可；

（3）分OB為邊和為對角線兩種情況進行求解，①當OB為平行四邊形的邊時，則有MN∥OB，MN=OB，；

②當OB為對角線時，OB與MN互相平分，設交點為H，易得OH=BH，MH=NH，設出M，N坐標，建立方程組分別進行求解即可.

本題解析：（1）∵直線y=﹣ x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴A（2，0），B（0，1），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點，

∴ ，

∴

∴拋物線解析式為

（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），∴OA=2，OB=1，

由（1）知，拋物線解析式為

∵點P是第一象限拋物線上的一點，

∴設P（a，﹣a2+a+1），（（a＞0，﹣a2+a+1＞0），

∴S△POA=OA×Py=×2×（﹣a2+a+1）=﹣a2+a+1

S△POB=OB×Px=×1×a=a

∵△POA的面積是△POB面積的倍．

∴﹣a2+a+1=×a，

∴a = 或a=（舍）

∴P（，1）；

②由（1）知，拋物線解析式為

∵點P是第一象限拋物線上的一點，

∴設P（m，﹣m2+m+1），（0<m<2），

過點P作PH∥OB交AB于點H

∵點H在直線AB上，

∴設H（m，﹣ m+1），

∴PH=﹣m2+m+1﹣（﹣m+1）=m2﹣2m，

S四邊形=S△AOB+ S△PAB =-（m-1）2+2

∴P（1，0.5）；

（3）即：滿足條件的點M的坐標（1+， （1﹣））或（1﹣ ， （1+））或（1，0.5）或M（﹣1-），（3+））或M（﹣1+），（3﹣）；