Question

【題目】（本題滿分8分）如圖，□ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，延長AE、CF分別交CD、AB于M、N。

（1）（4分）求證：四邊形CMAN是平行四邊形。

（2）（4分）已知DE＝4，FN＝3，求BN的長。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）5.

【解析】

試題分析：（1）通過AE⊥BD，CF⊥BD證明AE∥CF，再由四邊形ABCD是平行四邊形得到AB∥CD，由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形CMAN是平行四邊形；（2）證明△MDE≌∠NBF，根據全等三角形的性質可得DE=BF=4，再由勾股定理得BN=5．

試題解析：⑴證明：∵AE⊥BD CF⊥BD

∴AE∥CF

又∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD

∴四邊形CMAN是平行四邊形

⑵由⑴知四邊形CMAN是平行四邊形

∴CM=AN.

又∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴ AB=CD，∠MDE=∠NBF.

∴AB-AN=CD-CM，即DM=BN.

在△MDE和∠NBF中

∠MDE=∠NBF，∠DEM=∠BFN=90°，DM=BN

∴△MDE≌∠NBF

∴DE=BF=4，

由勾股定理得BN===5.

答：BN的長為5.