Question

【題目】如圖，△ABC和△ABD都是⊙O的內接三角形，圓心O在邊AB上，邊AD分別與BC，OC交于E，F兩點，點C為的中點．

（1）求證：OF∥BD；

（2）若，且⊙O的半徑R=6cm．①求證：點F為線段OC的中點； ②求圖中陰影部分（弓形）的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析②cm2

【解析】

（1）證明：∵OC為半徑，點C為的中點，∴OC⊥AD．

∵AB為直徑，∴∠BDA=90°，BD⊥AD．∴OF∥BD．

（2）①證明：∵點O為AB的中點，點F為AD的中點，∴OF=BD．

∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE．

∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，

∴，∴FC=BD．

∴FC=FO，即點F為線段OC的中點．

②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，

又∵AO=CO，∴△AOC為等邊三角形．

∴根據銳角三角函數定義，得△AOC的高為．

∴（cm2）．

答：圖中陰影部分（弓形）的面積為cm2．

（1）由垂徑定理可知OC⊥AD，由圓周角定理可知BD⊥AD，從而證明OF∥BD．

（2）①由OF∥BD可證△ECF∽△EBD，利用相似比證明BD=2CF，再證OF為△ABD的中位線，得出BD=2OF，即CF=OF，證明點F為線段OC的中點；

②根據S陰=S扇形AOC﹣S△AOC，求面積．