分析 (1)設當ts時PQ∥AC,再用t表示出BP與BQ的長,根據相似三角形的性質即可得出結論;
(2)分別過點A、P作AN⊥BC,PN⊥BC于點N、M,根據勾股定理求出AN的長,再由相似三角形的性質求出PM的長,根據三角形的面積公式即可得出結論;
(3)分別用t表示出四邊形APQD與三角形ABC的面積,進而可得出結論.
解答 解:(1)當ts時PQ∥AC,
∵點P從點B出發,沿BA方向勻速運動,速度為1cm/s;同時,直線QD從點C出發,沿CB方向勻速運動,速度為1cm/s,
∴BP=t,BQ=6-t.
∵PQ∥AC,
∴△BPQ∽△BAC,
∴$\frac{BP}{AC}$=$\frac{BC}{BQ}$,即$\frac{t}{5}$=$\frac{6-t}{6}$,解得t=$\frac{30}{11}$(s).
答:當t為$\frac{30}{11}$s時,PQ∥AC;
(2)過點A、P作AN⊥BC,PN⊥BC于點N、M,
∵AB=AC=5cm,BC=6cm,
∴BN=CN=3cm,
∴AN=$\sqrt{{AB}^{2}-{BN}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4cm.
∵AN⊥BC,PN⊥BC,
∴△BPM∽△BAN,
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{PM}{AN}$,即$\frac{t}{5}$=$\frac{PM}{4}$,解得PM=$\frac{4t}{5}$,
∴S△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$(6-t)•$\frac{4t}{5}$=-$\frac{2{t}^{2}}{5}$+$\frac{12}{5}$t.
∵AB=AC=5cm,
∴∠C=45°,
∴QC=DQ,
∴S△CDQ=$\frac{1}{2}$CQ•DQ=$\frac{1}{2}$t2.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AN=$\frac{1}{2}$×6×4=12,
∴y=S四邊形APQD=S△ABC-S△CDQ-S△BPQ=12-$\frac{1}{2}$t2-(-$\frac{{2t}^{2}}{5}$+$\frac{12}{5}$t)=12-$\frac{1}{10}$t2-$\frac{12}{5}$t(0<t<3);
(3)存在.
∵由(2)知,S四邊形APQD=S△ABC-S△CDQ-S△BPQ=12-$\frac{1}{2}$t2-(-$\frac{{2t}^{2}}{5}$+$\frac{12}{5}$t)=12-$\frac{1}{10}$t2-$\frac{12}{5}$t,S△ABC=12,
∴$\frac{12-\frac{1}{10}{t}^{2}-\frac{12}{5}t}{12}$=$\frac{23}{45}$,解得t1=-12+$\frac{4\sqrt{114}}{3}$,t2=-12-$\frac{4\sqrt{114}}{3}$(舍去).
答:當t=(-12+$\frac{4\sqrt{114}}{3}$)s時,S四邊形APQD:S△ABC=23:45.
點評 本題考查的是相似形綜合題,涉及到相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形等知識,根據題意作出輔助線,構造出直角三角形是解答此題的關鍵.
科目:初中數學 來源: 題型:解答題
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