Question

【題目】如圖，已知和，其中，，，將繞點順時針旋轉一周，連接并延長與直線相較于點，則的最小值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先利用旋轉模型易證△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，從而得出∠BPC=∠BAC=90°，即△BPC為直角三角形，BC為斜邊，當∠BCP最小時，BP邊長最小，以A為圓心，AD為半徑畫圓，可知當PC邊與圓的下方相切時，∠BCP最小，此時四邊形ADPE為矩形，利用勾股定理求出BD，減去PD即為BP的最小值．

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE

∴∠CAE=∠BAD

在△ABD與△ACE中，

∵AD=AE，∠BAD=∠CAE，AB=AC

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ABD=∠ACE

設AB，PC交于點F，

∵∠BFP=∠AFC

∴∠BPF=∠CAF=90°

∴∠DPE=90°

∴△BPC為直角三角形，BC為斜邊，當∠BCP最小時，BP邊長最小

如圖所示，以A為圓心，AD為半徑畫圓，當PC邊與圓的下方相切與點E時，∠BCP最小

∵∠AEP=90°，∠DAE=90°，∠DPE=90°，

∴四邊形ADPE為矩形

∴DP=AE=2，∠ADB=90°

∴在Rt△ABD中，BD=

此時BP的最小值=BD-DP=

故答案為：．