Question

【題目】已知，在平面直角坐標系中，點P（0，2），以P為圓心，OP為半徑的半圓與y軸的另一個交點是C，一次函數（m為實數）的圖象為直線l，l分別交x軸，y軸于A，B兩點，如圖1．

（1）B點坐標是 （用含m的代數式表示），∠ABO= °．

（2）若點N是直線AB與半圓CO的一個公共點（兩個公共點時，N為右側一點），過點N作⊙P的切線交x軸于點E，如圖2．是否存在這樣的m的值，使得△EBN是直角三角形．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），30；（2）m=2或2+．

【解析】

（1）首先求出直線與x軸交點坐標，進而得出答案，再利用銳角三角函數關系得出∠ABO的度數；

（2）分兩種情況討論：∠NEB=90°和∠ENB=90°，結合切線的性質得出m的值．

（1）當y=0，則0=﹣x+m，解得：x=m，故B點坐標是（用含m的代數式表示）．

∵一次函數y=﹣x+m與y軸交于點（0，m），∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°．

故答案為：（m，0），30；

（2）如圖①，假設存在這樣的m的值，使得△EBN是直角三角形．連接NP．分兩種情況討論：

①若∠NEB=90°．

∵NE是⊙P的切線，∴∠PNE=90°．

∵∠POE=90°，∴四邊形OPNE是矩形，∴PN=2，∠APN=90°．在Rt△APN中，PN=2，∠BAO=60°，∴PA=，∴m=2+．

②若∠ENB=90°．

∵NE是⊙P的切線，∴∠PNE=90°，∴點P、N、B三點共線，即點P與點A重合，∴m=2．

綜上可知：m=2或2+．