Question

【題目】我們把“有兩條邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形”叫做“同族三角形”，如圖1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，則△ABC和△ABD是“同族三角形”．

（1）如圖2，四邊形ABCD內接于圓，點C是弧BD的中點，求證：△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）如圖3，△ABC內接于⊙O，⊙O的半徑為，AB=6，∠BAC=30°，求AC的長；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若點D在⊙O上，△ADC與△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求 的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3+3；（3） =或．

【解析】

(1）由點C是弧BD的中點，根據弧與弦的關系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共邊AC，可證得：△ABC和△ACD是同族三角形；

(2）首先連接0A，OB，作點B作BE⊥AC于點E，易得△AOB是等腰直角三角形，繼而求得答案；

(3)分別從當CD=CB時與當CD=AB時進行分析求解即可求得答案．

（1）證明：∵點C是弧BD的中點，即，

∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，

∵AC=AC，

∴△ABC和△ACD是同族三角形.

（2）解：如圖1，連接OA，OB，作點B作BE⊥AC于點E，

∵OA=OB=3，AB=6，

∴OA2+OB2=AB2，

∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，

∴∠C=∠AOB=45°，

∵∠BAC=30°，

∴BE=AB=3，

∴AE==3，

∵CE=BE=3，

∴AC=AE+CE=3+3.

（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，

如圖2，當CD=CB時，∠DAC=∠BAC=30°，

∴∠ACD=75°，

∴AD=AC=3+3，CD=BC=BE=3，

∴=；

如圖3，當CD=AB時，過點D作DF⊥AC，交AC于點F，

則∠DAC=∠ACB=45°，

∴∠ACD=180°﹣∠DAC﹣∠ADC=60°，

∴DF=CDsin60°=6×=3，

∴AD=DF=，

∴=．

綜上所述： =或.