Question

【題目】如圖，在中，，以斜邊上的中線為直徑作，與、分別交于點、，與的另一個交點為.過點作，垂足為.

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求弦的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，ND，可知∠CND=90°，再證，即可證，最后根據切線的定義求得答案；

（2）根據勾股定理和，，可知，設半徑為，根據勾股定理可求出r值，過作于，則，可知四邊形是矩形，從而可知OH，再次根據勾股定理即可求出DH，最后即可求出答案.

證明：（1）

連接，，

在中，為斜邊中線，

∴，

∵是的直徑.

∴，

∴，

∵等腰三線合一，

∴，

∵在中，為斜邊的中點，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是的半徑，

∴是的切線.

（2）∵在中，且，，

∴，

設半徑為，

則，

∴，

在中，，即，

在中，，即，

∵在等腰中，，

∴，

∴，

解得：，

過作于，

則，

由（1）可知∠ONF=∠NFH=90°

∴四邊形是矩形，

則，

在中，，

∴，

∴.